Hoy quiero compartir con ustedes uno de los eventos matemáticos más hermosos con los que me he topado en mi corta experiencia de vida. Es algo complicado de explicar, pero haré un esfuerzo por simplificarlo lo más que pueda, y al mismo tiempo conservar y resaltar la belleza del suceso; que es el siguiente:
Imagina que un día vas caminando tranquilamente por la calle, feliz, después de un provechoso día en el mercado donde acabas de comprar una bolsa de tus frutas favoritas, dulces y recién cosechadas. Y de repente.... ¡Bam! Te topas con un producto notable escrito con gis en la acera.
(X+Y)2
Como eres matemático, no puedes resistir la tentación de hallar su resultado. Por suerte, siempre vas preparado y llevas un gis en tu bolsa derecha del pantalón. Es un binomio (del prefijo “bi” que significa dos; lo cual quiere decir que se compone de dos incógnitas - letras o números cuales quiera) al cuadrado (porqué está elevado a la potencia cuadrada -2-) y te tomará poco tiempo resolverlo. Además recuerdas que una expresión de tales características no es más que el producto de dos raíces similares:
(X+Y)(X+Y)
También recuerdas la vieja fórmula que aprendiste en la preparatoria: Un binomio al cuadrado se resuelve de la siguiente manera:
1°-El cuadrado del primero
X2
2°-Más el doble producto del primero por el segundo (o sea el doble de la multiplicación de el primero -X- por el segundo -Y-).
2XY
3°Más el cuadrado del segundo
Y2
4° Finalmente, expresas el resultando juntando todos los términos obtenidos en los pasos 1, 2 y 3.
X2+2XY+Y2
¡Qué clase de choro gigantesco necesitaste aprender para resolver ese producto notable! Pero, ¿De dónde demonios habrán sacado los matemáticos la formula necesaria para resolver tal cosa? ¿Será que se la encontraron escrita en un místico cofre perdido en algún desierto del medio oriente? ¿La obtuvieron mediante un transe al cual llegaron después de haberse fumado, en un solo día, toda la dotación mundial de marihuana? ¿Llegó a ellos a través de una señal del espacio captada por sus radiotelescopios y que los gobiernos han luchado vigorosamente por mantener en secreto?
La mera verdad es que la encontraron mediante la experimentación, simplemente multiplicaron (X+Y)(X+Y), sumaron toda la cantidad de términos que salieron de realizar aquél producto, y observaron el resultado.
Ahora bien, fue fácil sacar está formula ya que el binomio del cual hablamos anteriormente es el más simple de todos los binomios elevados a alguna potencia. ¿Pero qué harías si te encuentras con un binomio al cubo -(X+Y)3-? ¿O con un binomio a la cuarta -(X+Y)4-? ¿O con uno a la quinta-(X+Y)5-? ¿O demás infinitos binomios a la quién sabe cuántos miles de millonseabos que pueden estar escritos en la acera a la vuelta de la siguiente esquina?
La verdad, es que lo único que necesitas saber para resolver un binomio a la quién sabe cuánta potencia es hacer uno de los triángulos más magníficos del universo y conocer una hermosa ley de relación entre los exponentes.
Triángulo de Páscal
-El triángulo es conocido como Triángulo de Pascal y se puede hacer de una forma muy simple:
°Primero que nada, todos sus lados (excepto el de la base) están cubiertos por números uno.
°Los números en su interior se obtienen mediante la suma de los dos números directamente superiores a ellos.
En otras palabras:
(Las franjas verdes son los diferentes estratos del triángulo. Las flechas y los números que no están resaltados en verde explican cómo se generan los nuevos números de los estratos inferiores a partir de la suma de los dos números directamente superiores a ellos)
Visto sin toda la faramalla de lineas y sumas, el triángulo queda de la siguiente manera:
Claro que el triángulo no acaba en el estrato siete ¡De hecho pueden haber tantos estratos como números puedas imaginar! Cada nuevo estrato se generara mediante el mismo procedimiento de sumas que se mostró en la figura 1.
Ahora seguro estarás pensando: “¿De qué demonios me sirve saber que existe un triángulo de “Pasapal” y qué tiene que ver con los binomios a la chorosientasmil potencia?"
La respuesta a esta pregunta no podría ser más bella:
Si observas atentamente los primeros estratos, notarás que los números que aparecen en el segundo estrato (aquí encerrados en círculos de colores) son los mismos que los coeficientes (el número que está antes de una incógnita) del resultado de nuestro binomio al cuadrado ¡Y aparecen exactamente en el mismo orden!
(Recuerda que cuando una incógnita no tiene coeficiente, es porque el coeficiente es un 1 implícito.)
Podremos observar la misma relación con los demás binomios a la potencia que sea:
(La misma relación puede ser observada en los binomios a la sexta, séptima y todas las demás potencias)
Finalmente, se puede observar una relación más con los exponentes (número pequeño que expresa la potencia) de cada componente del resultado del binomio. Y es que la suma de los exponentes de cada componente del resultado debe ser igual a la potencia a la cual se eleva el binomio original.
Se entiende mejor al observar la siguiente imagen:
(La suma de los exponentes de cada componente del resultado es igual a dos, que es la potencia a la cual se eleva el binomio originario)
La misma relación puede ser observada en los demás binomios a la potencia que sea:
¡Fantástico! ¿No crees? Espero que hayas aprendido algo y que haya podido transmitirte mi fascinación por este evento tan asombroso.
Wow, impressionant! Merci beaucoup Jorge!
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